湖南高考数学空间图形的位置关系提分专练(含答案)

2017-05-18 10:19 高考复习 手机版

空间图形推理一直以来都是难点,以下是空间图形的位置关系提分专练,请考生认真做题。

一、选择题

1.若点P是两条异面直线l,m外的任意一点,则()

A.过点P有且仅有一条直线与l,m都平行

B.过点P有且仅有一条直线与l,m都垂直

C.过点P有且仅有一条直线与l,m都相交

D.过点P有且仅有一条直线与l,m都异面

答案:B 命题立意:本题考查异面直线的几何性质,难度较小.

解题思路:因为点P是两条异面直线l,m外的任意一点,则过点P有且仅有一条直线与l,m都垂直,故选B.

2.如图,P是正方形ABCD外一点,且PA平面ABCD,则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是()

A.平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直

B.它们两两垂直

C.平面PAB与平面PBC垂直,与平面PAD不垂直

D.平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直

答案:A 解题思路: DAAB,DAPA,ABPA=A,

DA平面PAB,又DA平面PAD, 平面PAD平面PAB.同理可证平面PAB平面PBC.把四棱锥P-ABCD放在长方体中,并把平面PBC补全为平面PBCD1,把平面PAD补全为平面PADD1,易知CD1D即为两个平面所成二面角的平面角,CD1D=APB,

CD1D,故平面PAD与平面PBC不垂直.

3.设,分别为两个不同的平面,直线l,则l是成立的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案:A 命题立意:本题主要考查空间线面、面面位置关系的判定与充分必要条件的判断,意在考查考生的逻辑推理能力.

解题思路:依题意,由l,l可以推出反过来,由,l不能推出l.因此l是成立的充分不必要条件,故选A.

4.若m,n为两条不重合的直线,,为两个不重合的平面,则下列结论正确的是()

A.若m,n都平行于平面,则m,n一定不是相交直线

B.若m,n都垂直于平面,则m,n一定是平行直线

C.已知,互相垂直,m,n互相垂直,若m,则n

D.m,n在平面内的射影互相垂直,则m,n互相垂直

答案:B 解题思路:本题考查了空间中线面的平行及垂直关系.在A中:因为平行于同一平面的两直线可以平行,相交,异面,故A为假命题;在B中:因为垂直于同一平面的两直线平行,故B为真命题;在C中:n可以平行于,也可以在内,也可以与相交,故C为假命题;在D中:m,n也可以不互相垂直,故D为假命题.故选B.

5.如图所示,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,长为2的线段MN的一个端点M在棱DD1上运动,另一端点N在正方形ABCD内运动,则MN的中点的轨迹的面积为()

A.4

C.

答案:

D 解题思路:本题考查了立体几何中的点、线、面之间的关系.如图可知,端点N在正方形ABCD内运动,连接ND,由ND,DM,MN构成一个直角三角形,设P为NM的中点,根据直角三角形斜边上的中线长度为斜边的一半可得,不论MDN如何变化,点P到点D的距离始终等于1.故点P的轨迹是一个以D为中心,半径为1的球的球面,其面积为.

技巧点拨:探求以空间图形为背景的轨迹问题,要善于把立体几何问题转化到平面上,再联合运用平面几何、立体几何、空间向量、解析几何等知识去求解,实现立体几何到解析几何的过渡.

6.如图是一几何体的平面展开图,其中四边形ABCD为正方形,E,F分别为PA,PD的中点,在此几何体中,给出下面四个结论:

直线BE与直线CF是异面直线;直线BE与直线AF是异面直线;直线EF平面PBC;平面BCE平面PAD.

其中正确结论的序号是()

A.1 B.1

C. 3D.4

答案:

B 解题思路:本题考查了立体几何中的点、线、面之间的关系.画出几何体的图形,如图,由题意可知,直线BE与直线CF是异面直线,不正确,因为E,F分别是PA与PD的中点,可知EFAD,所以EFBC,直线BE与直线CF是共面直线;直线BE与直线AF是异面直线,满足异面直线的定义,正确;直线EF平面PBC,由E,F是PA与PD的中点,可知EFAD,所以EFBC,因为EF平面PBC,BC平面PBC,所以判断是正确的;由题中条件不能判定平面BCE平面PAD,故不正确.故选B.

技巧点拨:翻折问题常见的是把三角形、四边形等平面图形翻折起来,然后考查立体几何的常见问题:垂直、角度、距离、应用等问题.此类问题考查学生从二维到三维的升维能力,考查学生空间想象能力.解决该问题时,不仅要知道空间立体几何的有关概念,还要注意到在翻折的过程中哪些量是不变的,哪些量是变化的.

二、填空题

7.如图,四边形ABCD为菱形,四边形CEFB为正方形,平面ABCD平面CEFB,CE=1,AED=30,则异面直线BC与AE所成角的大小为________.

答案:45 解题思路:因为BCAD,所以EAD就是异面直线BC与AE所成的角.

因为平面ABCD平面CEFB,且ECCB,

所以EC平面ABCD.

在RtECD中,EC=1,CD=1,故ED==.

在AED中,AED=30,AD=1,由正弦定理可得=,即sin EAD===.

又因为EAD(0,90),所以EAD=45.

故异面直线BC与AE所成的角为45.

8.给出命题:

异面直线是指空间中既不平行又不相交的直线;

两异面直线a,b,如果a平行于平面,那么b不平行于平面

两异面直线a,b,如果a平面,那么b不垂直于平面

两异面直线在同一平面内的射影不可能是两条平行直线.

上述命题中,真命题的序号是________.

答案: 解题思路:本题考查了空间几何体中的点、线、面之间的关系.根据异面直线的定义知:异面直线是指空间中既不平行又不相交的直线,故命题为真命题;两条异面直线可以平行于同一个平面,故命题为假命题;若b,则ab,即a,b共面,这与a,b为异面直线矛盾,故命题为真命题;两条异面直线在同一个平面内的射影可以是:两条平行直线、两条相交直线、一点一直线,故命题为假命题.

9.如果一个棱锥的底面是正多边形,并且顶点在底面的射影是底面的中心,这样的棱锥叫做正棱锥.已知一个正六棱锥的各个顶点都在半径为3的球面上,则该正六棱锥的体积的最大值为________.

答案:16 命题立意:本题以球的内接组合体问题引出,综合考查了棱锥体积公式、利用导数工具处理函数最值的方法,同时也有效地考查了考生的运算求解能力和数学建模能力.

解题思路:设球心到底面的距离为x,则底面边长为,高为x+3,正六棱锥的体积V=(9-x2)6(x+3)=(-x3-3x2+9x+27),其中03,则V=(-3x2-6x+9)=0,令x2+2x-3=0,解得x=1或x=-3(舍),故Vmax=V(1)=(-1-3+9+27)=16.

10.已知三棱锥P-ABC的各顶点均在一个半径为R的球面上,球心O在AB上,PO平面ABC,=,则三棱锥与球的体积之比为________.

答案: 命题立意:本题主要考查线面垂直、三棱锥与球的体积计算方法,意在考查考生的空间想象能力与基本运算能力.

解题思路:依题意,AB=2R,又=,ACB=90,因此AC=R,BC=R,三棱锥P-ABC的体积VP-ABC=POSABC=RRR=R3.而球的体积V球=R3,因此VP-ABCV球=R3R3=.

三、解答题

11.如图,四边形ABCD与AABB都是正方形,点E是AA的中点,AA平面ABCD.

(1)求证:AC平面BDE;

(2)求证:平面AAC平面BDE.

解题探究:第一问通过三角形的中位线证明出线线平行,从而证明出线面平行;第二问由AA与平面ABCD垂直得到线线垂直,再由线线垂直证明出BD与平面AAC垂直,从而得到平面与平面垂直.

解析:(1)设AC交BD于M,连接ME.

四边形ABCD是正方形,

M为AC的中点.

又 E为AA的中点,

ME为AAC的中位线,

ME∥AC.

又 ME平面BDE,

AC平面BDE,

AC∥平面BDE.

(2)∵ 四边形ABCD为正方形, BDAC.

∵ AA平面ABCD,BD平面ABCD,

AABD.

又ACAA=A, BD平面AAC.

BD平面BDE,

平面AAC平面BDE.

12.如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,已知DC=DD1=2AD=2AB,ADDC,ABDC.

(1)求证:D1CAC1;

(2)设E是DC上一点,试确定E的位置,使D1E平面A1BD,并说明理由.

命题立意:本题主要考查空间几何体中的平行与垂直的判定,考查考生的空间想象能力和推理论证能力.通过已知条件中的线线垂直关系和线面垂直的判定证明线面垂直,从而证明线线的垂直关系.并通过线段的长度关系,借助题目中线段的中点和三角形的中位线寻找出线线平行,证明出线面的平行关系.解决本题的关键是学会作图、转化、构造.

解析:(1)在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,连接C1D, DC=DD1,

四边形DCC1D1是正方形,

DC1D1C.

又ADDC,ADDD1,DCDD1=D,

AD平面DCC1D1,

又D1C平面DCC1D1,

ADD1C.

∵ AD平面ADC1,DC1平面ADC1,

且ADDC1=D,

D1C平面ADC1,

又AC1平面ADC1,

D1CAC1.

(1)题图

(2)题图

(2)连接AD1,AE,D1E,设AD1A1D=M,BDAE=N,连接MN.

平面AD1E平面A1BD=MN,

要使D1E平面A1BD,

可使MND1E,又M是AD1的中点,

则N是AE的中点.

又易知ABN≌△EDN,

AB=DE.

即E是DC的中点.

综上所述,当E是DC的中点时,可使D1E平面A1BD.

13.已知直三棱柱ABC-ABC满足BAC=90,AB=AC=AA=2,点M,N分别为AB和BC的中点.

(1)证明:MN平面AACC

(2)求三棱锥C-MNB的体积.

命题立意:本题主要考查空间线面位置关系、三棱锥的体积等基础知识.意在考查考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.

解析:(1)证明:如图,连接AB,AC,

四边形ABBA为矩形,M为AB的中点,

AB与AB交于点M,且M为AB的中点,又点N为BC的中点.

MN∥AC.

又MN平面AACC且AC平面AACC,

MN∥平面AACC.

(2)由图可知VC-MNB=VM-BCN,

BAC=90, BC==2,

又三棱柱ABC-ABC为直三棱柱,且AA=4,

S△BCN=24=4.

AB=AC=2,BAC=90,点N为BC的中点,

ANBC,AN=.

又BB平面ABC,

ANBB,

AN平面BCN.

又M为AB的中点,

M到平面BCN的距离为,

VC-MNB=VM-BCN=4=.

14.如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD平面ABCD,ABDC,PAD是等边三角形,BD=2AD=8,AB=2DC=4.

(1)设M是PC上的一点,证明:平面MBD平面PAD;

(2)求四棱锥P-ABCD的体积.

命题立意:本题主要考查线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理与性质定理以及棱锥的体积的计算等,意在考查考生的逻辑推理能力与计算能力,考查化归与转化思想.

解析:(1)证明:在ABD中,因为AD=4,BD=8,AB=4,所以AD2+BD2=AB2.

故ADBD.

又平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,BD平面ABCD,

所以BD平面PAD,

又BD平面MBD,

所以平面MBD平面PAD.

(2)过点P作OPAD交AD于点O,

因为平面PAD平面ABCD,

所以PO平面ABCD.

因此PO为四棱锥P-ABCD的高.

又PAD是边长为4的等边三角形,

所以PO=4=2.

在四边形ABCD中,ABDC,AB=2DC,

所以四边形ABCD是梯形.

在Rt△ADB中,斜边AB上的高为=,此即为梯形ABCD的高.

所以四边形ABCD的面积S==24.

故四棱锥P-ABCD的体积VP-ABCD=242=16.

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