怎样一个小时记住中学所有三角函数公式

2011-03-15 23:31 学科记忆方法实例 手机版

所以当我们觉得某个知识很难理解的时候,首先应该想到的就是,这个知识背后那些最简单的概念我们有没有真正弄清楚。我们要把三角函数彻底搞清楚,记下来并且活学活用,首先就要问:三角函数最简单的概念是什么?显然,就是sin、cos、tg、ctg 这四个概念。这是三角函数的基本元素。可惜有很多人学了很长时间的三角函数,这四个符号倒是认识了,却没有能够真正理解它们的内涵。所谓三角函数,简单来说,就是直角三角形的几条边的比例关系。假设有直角△ ABC,∠ C=90°,对应斜边c,∠ A 和∠ B 分别对应直角边a 和b。
 

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那么,sinA=a/c, cosA=b/c, tgA=a/b, ctgA=b/a。实际上,这四个函数就是为了把直角三角形的比例线段简单化,为了避免每次都要写一大堆线段的比例式,而发明出来的。sinA 就代表∠A 所对的直角边与斜边的比例,cosA 就代表∠ A 的邻边与斜边的比例,tgA 就代表∠ A 的对边与邻边的比例,ctgA 就代表∠A 的邻边与对边的比例。

把这些最简单的概念弄清楚了,有很多基础的三角函数公式就不用记了。比如sin2A+cos2A=1,tgA ctgA=1,cosA tgA= sinA,sinA ctgA= cosA。因为这些全都是直接从这个基本概念推出来的,比如cosAtgA= sinA,sinActgA= cosA 这两个公式颠来倒去的,很容易把tgA 和ctgA 记混淆,一不小心就会记成sinAtgA=cosA 或
者cosActgA= sinA。但是,只要我们知道这四个基本概念,就知道

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永远都不会记混淆。所以说真正高效的记忆是在彻底理解的基础上记忆,彻底理解了之后,过个十年八年都忘不掉,更不可能说什么听完课就忘、看完书就忘、过一天就忘了等等。

到了高中,三角函数最大的变化其实不是公式变得更多了,而是基础概念扩大了。也就是三角函数的取值范围从初中的0 到90 度,变成了任意角,也就是从负无穷到正无穷。但是sinA=a/c, cosA=b/c, tgA=a/b, ctgA=b/a 这四个基本概念还是没有变。学好高中的三角函数,最根本的还是在这四个基本概念的基础上,再认真理解“单位圆”的概念。把这个单位圆弄清楚了之后,整个高中的三角函数公式就迎刃而解,不管它怎么变来变去都逃不出我们的手掌心。

“标准圆”就是在坐标轴上以O 点为圆心,以1 为直径的圆。从这个圆上任意一点做一条到X 轴的垂线,这条垂线与X 轴还有这个点到圆心的连线,正好组成一个直角三角形。如图所示,在直角坐标系上的四个象限的单位圆上任取一点P(x,y),做PMMO,则

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这里的PO=1,PM=y,所以sinO 的值就是PM 的长度,也就是P 点的纵坐标值y。同理,

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这里和初中惟一不同的地方是,初中学习的是0 到90 度,所有的值都是非负数,而这里不仅有线段的长度,还有向量值,也就是x 和y 可能是负数。在第二象限,y 是正数,而x 是负数,所以在这个象限里sinO 是正数,而cosO 是负数;在第三象限,x和y 都是负数,所以sinO 和cosO 都是正数;在第四象限,y 是
负数,x 是正数,所以sinO 是负数,而cosO 是正数。

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把这个道理彻底梳理清楚之后,高中三角函数的所有角度变化公式就全部都不用记忆了。什么sin(-θ)=-sinθ,cos(-θ)=cosθ 你就想到是角度沿着X 轴对折过来了,从第一象限跑到第四象限了,再看第四象限对应的y 肯定是负数,所以sin(-θ)=-sinθ,而x 值还是正数,所以cos(-θ)=cosθ。有了这个东西,剩下那些千变万化的什么,sin(θ-π/2)=-sin(π/2)=-cosθ,sin(θ-3π/2)=-cosθ,cos(θ+π)=-cosθ……反正加上一个角度,就是PO 往逆时针方向转,减去一个角度,就是PO 往顺时针方向转,转到哪个象限,符号是正
是负马上就知道了。这样后面三角函数的周期性也顺带着完全弄明白了。

然后就是三角函数和与差的公式,这个也是从单位圆出来的,无非就是单位圆上两个点的距离而已。这个推导课本上都有,看起来推导过程比较长,但只要自己动手在草稿纸上画一下,整个过程就一目了然了。三角函数和与差的公式很复杂,不仅有sin(α+β)=sinαcosβ+ cosαsinβ,sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ,cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ,cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ,还有tg(α+β)和ctg(α+β)的公式。这些公式颠来倒去的,死记硬背足以把人背出数学恐惧症。如果我们不用“彻底理解+ 把握规律”的方法来记忆,永远也别想学好三角函数。

其实,我们只需要记住sin(α+β)=sinαcosβ+ cosαsinβ这一个公式就行了,剩下的全都可以根据我们的基本概念想出来。因为我们已经把标准圆记在脑子里面了,无论什么角度变化,只要大脑里面好像出现一个闹钟一样:加上一个角,指针就逆时针旋转;减去一个角,指针就顺时针旋转。有了这个东西,怎么变都不会糊涂。

所以,sin(α-β)= sin[α+(-β)]= sinαcos(-β)+ cosαsin(-β),这里多了个符号,是减,所以要把指针向顺时针方向转动,转到第四象限,y 是负数,x 是正数,sin 值变成负,cos 值还是正值, 所以

sin(α-β)= sin[α+(-β)]= sinαcos(-β)+cosαsin(-β)= sinαcosβ- cosαsinβ。这就出来了,不管是符号还是sin 和cos 的顺序,都绝不会记错。

同理, c o s ( α + β ) = - s i n ( α + β + π / 2 ) =-sinαcos(β+π/2)- cosαsin(β+π/2),这里是加上π/2,指针要逆时针转动,sin 要变成cos,根据我们的单位圆,我们又可以得出

 cos( α+β)的公式了。同样,cos( α-β)= cos[ α+(-β)],我们又可以很容易地知道

cos( α-β)的公式了。至于tg( α+β),tg(α-β),ctg(α+β),ctg(α-β),

我们只要知道最基础的四个概念:sinA=a/c, cosA=b/c, tgA=a/b, ctgA=b/a,就足够了。
tg(α+β)= sin(α+β)/ cos(α+β),tg(α-β)= sin(α-β)/ cos(α-β)……

以此类推,看起来无比复杂的两角和与差的公式就很清楚地排列在脑海里面,而且过很长很长的时间,也不会记错一个符号,不会记错一个顺序。这样的记忆效果,又岂是任何一种投机取巧的方法所能够比拟的?!

至于三角函数的二倍角公式,那就更简单了。既然已经知道sin(α+β)=sinαcosβ+ cosαsinβ,那么sin2α= sin(α+α)=sinαcosα+ cosαsinα=2 sinαcosα。后面的cos2α、tg2α、ctg2α 公式也就可以继续按照单位圆概念及这四个基本概念轻而易举地就想出来了,根本不需要刻意地去记忆它们。所以说来说去,整个初中高中的三角函数那么复杂,其实记住两个东西就行了:第一,sinA=a/c, cosA=b/c, tgA=a/b,ctgA=b/a;第二,单位圆的图形变化。

实际上,有谁记不住吗?任何人都记得住这两个东西,但是,为什么那么多人把初高中的三角函数学视为畏途呢?很多人就是在复杂的公式中转晕了头,而忘记了那些最基本的概念和知识之间最基本的联系。所以,如果我们在学习一个看似很复杂的知识时觉得头痛,我们记忆一些看似很复杂的公式时觉得背完就忘,那么,请立即回到最基础的地方,去理解和寻找规律吧。这才是高效记忆的惟一法门。

“正确的学习方法,可以把普通人变成天才;错误的学习方法,可以把天才变成白痴。”记住我这句话


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